Анализатор спектра аудиосигнала

О спектральной форме представления сигнала ограничимся лишь пояснением основных терминов.
Классический спектр
Начать разбираться в сущности спектральных представлений лучше с разложения в ряд Фурье периодического сигнала. Всякая периодическая функция (с ограничениями, носящими абстрактный характер) может быть представлена в виде разложения в ряд по тригонометрическим функциям

Таким образом, периодическая функция s(t) представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть не что иное, как косинусоидальное колебание с амплитудой сk и начальной фазой .
Совокупность коэффициентов сk называется амплитудным спектром сигнала, а — фазовым спектром.
Частоты всех синусоидальных колебаний, из которых составляется периодическая функция s(t), кратны основной частоте F =1/Т. Отдельные составляющие называются гармониками. Колебание с частотой F называется первой гармоникой (k = 1), с частотой 2F— второй гармоникой (k = 2) и т. д.
Ряд Фурье дает разложение периодической функции по тригонометрическим функциям. Это разложение можно применить и к непериодической функции, которую рассматривают как предельный случай периодической функции при неограниченном возрастании периода.
Если Т-> , то F-> df, a 2pk/T-> w (параметр w— круговая текущая частота, изменяющаяся непрерывно). Не хотелось бы здесь рассказывать подробно обо всех математических преобразованиях, которые необходимо выполнить при таком предельном переходе. Поэтому сразу приведем итоговые формулы, которые являются основными соотношениями теории спектров. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени s(t) и комплексную функцию частоты G(w):

 

Формула (1.2) называется интегралом Фурье в комплексной форме. В данном случае предполагается, что функция непериодическая, поэтому она может быть представлена только суммой бесконечно большого числа бесконечно близких по частоте колебаний с бесконечно малыми амплитудами.
Если ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенные дискретные значения, то интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой синусоид и косинусоид с непрерывной последовательностью частот. Иногда говорят, что в .составе непериодического сигнала есть колебания всех частот. В случае непериодического сигнала говорить об амплитудах отдельных спектральных составляющих нет смысла, т. к. это бесконечно малые величины. На самом деле параметр G(w) выражает не непосредственно амплитуду, а так называемую спектральную плотность. Обычно эту деталь опускают и называют G(w) комплексным спектром непериодической функции, а абсолютное значение этой величины — просто спектром.
В специальной литературе можно найти теоремы, позволяющие облегчить спектральные преобразования сигналов, а также соотношения и графики, описывающие спектры сигналов различной формы.
Текущий спектр
Классическое определение спектра основывается на преобразовании Фурье, причем интегрирование по времени выполняется в бесконечных пределах и спектр зависит только от частоты. Однако бесконечная длительность какого-либо процесса — это абстракция, не имеющая ничего общего с реальностью.
Если анализируемая функция есть отображение некоторого реального физического процесса, то сведения о функции С(w) мы получаем лишь в результате наших наблюдений. Следовательно, при вычислении спектра мы можем выполнить интегрирование лишь от момента начала анализа до текущего момента времени t, а не до момента, устремленного в бесконечное будущее.
Текущий спектр определяется как результат преобразования Фурье, но с переменным верхним пределом интегрирования, в качестве которого фигурирует текущее время. Поэтому текущий спектр является функцией не только частоты, но и времени.
В начале раздела мы воспользовались понятием периодической функции. На самом деле периодическая функция — лишь весьма полезная математическая абстракция. Ведь всякий природный процесс имеет начало и конец.
Принято называть реальный циклический процесс периодическим, если он длится достаточно долго. Мерилом длительности служит число "периодов", которое должно быть намного больше единицы. Периодичность процесса проявляется лишь с течением времени, когда прорисовываются его характерные черты. Текущий спектр и отражает это развитие процесса.
Спектр процесса (за короткий отрезок времени) однороден, так как короткий отрезок процесса — это просто короткий одиночный импульс. Если в дальнейшем происходит периодическое повторение некоторого цикла явления, то в текущем спектре начинают формироваться максимумы на основной частоте и ее гармониках. Эти пики становятся все более острыми и высокими, а значение спектральной плотности в интервалах между максимумами убывает, и при t -> сплошной текущий спектр вырождается в линейчатый спектр периодического процесса.
Конечно, и при достаточно большой (не обязательно бесконечной) длительности процесса пики делаются настолько узкими, что их можно трактовать как линии.
Таким образом, периодический процесс — это предел, к которому может стремиться с течением времени реальный повторяющийся процесс. Аналогично и спектр (в его классическом определении) такого процесса есть предел, к которому стремится текущий спектр при увеличении времени интегрирования до бесконечности.
Например, при интегрировании в бесконечных пределах спектр синусоиды представляет собой единственную линию на частоте, равной частоте этой синусоиды.
Но как на практике измеряется текущий спектр, например, той же синусоиды? Мы включаем анализатор спектра, а спустя какое-то время выключаем его. Получается, что измеряется не спектр бесконечного синусоидального колебания, а спектр его более или менее протяженного отрезка. Это значит, что фактически исследуется спектр прямоугольного импульса с синусоидальным заполнением. Сказанное объясняет причину того, что даже для синусоидального колебания при уменьшении времени интегрирования спектральная линия расширяется, появляются боковые лепестки спектральной функции, ее нули все более удаляются друг от друга. Ведь именно так и должен вести себя спектр прямоугольного импульса при уменьшении его длительности.
Таким образом, текущий спектр в большей степени отражает свойства сигналов, проявляющиеся в реальных условиях их генерирования и обработки, нежели спектр, полученный на бесконечном временном интервале.